Фракталы

  Вход на форум   логин       пароль   Забыли пароль? Регистрация
On-line:  

Раздел: 
Нетрадиционная энергетика / РАЗНОЕ / Фракталы

Страницы: << Prev 1 2  ответить новая тема

Автор Сообщение

Группа: Участники
Сообщений: 0
Добавлено: 09-03-2010 20:08
А купола церквей по вашему ничего общего с фракталами не имеют? Слишком просто?

Ну почему же, это "упрощенный фрактал" где крест выполняет роль "антенны", а купол, - резонатор......
Ещё колокол, - очень хороший резонатор......

Группа: Участники
Сообщений: 52
Добавлено: 01-04-2010 20:59
Что, скажите, привнес компьютер в нашу жизнь нового, неведомого до него? Рискуя навлечь гнев фанатиков бесчисленных вариантов применения компьютеров, заявляю: главное - он позволил нам увидеть фракталы. Это модное понятие взрывообразно шагает по планете, завораживая своей красотой и таинственностью, проявляясь в самых неожиданных областях: метеорологии, философии, географии, биологии, механике и даже истории. Если мы зададим слово «фрактал» в любом поисковике, то придем к мысли, что Рунет создавался для фракталов.
Кто придумал "фрактал"?

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Пеано нарисовал особый вид линии. Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм.
На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длинна исходной линии. Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0). А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость.Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Р. Мандельброт (Benoit Mandelbrot), математик из Исследовательского центра им. Томаса Уотстона при IBM - отец современной фрактальной геометрии, который и предложил термин "фрактал" для описания объектов, структура которых повторяется при переходе к все более мелким масштабам.. Работая в IBM математическим аналитиком, он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике - фрактальной геометрии.

Красота фракталов

Почему же фракталы так красивы? Так сказочно, обворожительно, волнующе (какие еще есть эпитеты?) красивы. Математика вся пронизана красотой и гармонией, только эту красоту надо увидеть. Вот как пишет сам Мандельброт в своей книге "The Fractal Geometry of Nature"
"Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин лежит в ее неспособности описать форму облаков, гор или деревьев. Облака - это не сферы, горы - не углы, линия побережья - не окружность, кора не гладкая, а молния не прямая линия..."

Определение фрактала

Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). И одно из определений фрактала - это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно). Фрактал - это такой объект, для которого не важно, с каким усилением его рассматривать в увеличительное стекло, но при всех его увеличениях структура остается одной и той же. Большие по масштабу структуры полностью повторяют структуры, меньшие по масштабу. Так, в одном из примеров Мандельброт предлагает рассмотреть линию побережья с самолета, стоя на ногах и в увеличительное стекло. Во всех случаях получим одни и те же узоры, но только меньшего масштаба. Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б.Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature" ставший классическим - "Какова длина берега Британии?". Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки мы получим какую-то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра - мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно - длина берега Британии бесконечна.

Типы фракталов

Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это:
геометрические фракталы
алгебраические фракталы
системы итерируемых функций
стохастические фракталы
Геометрические фракталы

Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.

Рассмотренная выше кривая Пеано является геометрическим фракталом. Классические примеры геометрических фракталов - Снежинка Коха, Лист, Треугольник Серпинского).

Снежинка Коха

Из этих геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является первый - снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого ___ заменяется на 4 линии каждая длинной в 1/3 исходной _/\_. Таким образом, с каждой итерацией длинна кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций - получим фрактал - снежинку Коха бесконечной длинны. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь. Попробуйте сделать то же самое методами и фигурами из евклидовой геометрии. Для построения геометрических фракталов хорошо приспособлены так называемые L-Systems. Суть этих систем состоит в том, что имеется определенных набор символов системы, каждый из которых обозначает определенное действие и набор правил преобразования символов.

Треугольник Серпинского

Второе свойство фракталов - самоподобие. Возьмем, например, треугольник Серпинского. Для его построения из центра треугольника мысленно вырежем кусок треугольной формы, который своими вершинами будет упираться в середины сторон исходного треугольника. Повторим эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального) и так до бесконечности. Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его - получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием.

Драконова ломаная

Драконова ломаная относится к классу самоподобных рекурсивно порождаемых геометрических структур. Ломаная нулевого порядка представляет собой просто прямой угол. Изображение фигуры каждого следующего порядка строится путем рекурсивных замен каждого из отрезков фигуры младшего порядка на два отрезка, сложенных также в виде прямого угла.


При этом каждый первый угол оказывается "вывернутым" наружу, а каждый второй - вовнутрь. Несмотря на внешнюю простоту, построение драконовой ломаной - увлекательная алгоритмическая задачка, решение которой может потребовать от вас определенных мыслительных усилий. Попробуйте "научить" ваш компьютер строить драконовы ломаные n - того порядка (естественно, в разумных пределах значений n). Это умственное упражнение будет способствовать оттачиванию вашего "боевого" искусства алгоритмизации и программирования

Алгебраические фракталы

Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:
С течением времени стремится к бесконечности.
Стремится к 0
Принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы.
Поведение хаотично, без каких либо тенденций.

Чтобы проиллюстрировать алгебраические фракталы обратимся к классике - множеству Мандельброта.


Для его построения нам необходимы комплексные числа. Комплексное число - это число, состоящее из двух частей - действительной и мнимой, и обозначается оно a+bi. Действительная часть a это обычное число в нашем представлении, а вот мнимая часть bi интересней. i - называют мнимой единицей. Почему мнимой? А потому, что если мы возведем i в квадрат, то получим -1.

Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень и извлекать корень, нельзя только их сравнивать. Комплексное число можно изобразить как точку на плоскости, у которой координата Х это действительная часть a, а Y это коэффициент при мнимой части b.

На рисунке, изображающем множество Мандельброта я взял небольшой участок и увеличил его до размеров всего экрана (как в микроскоп). Что же мы видим? Проявление самоподобности. Не точной самоподобности, но близкой и с ней мы будем сталкиваться постоянно, увеличивая части нашего фрактала больше и больше. До каких же пор мы можем увеличивать наше множество? Так вот если мы увеличим его до предела вычислительной мощности компьютеров, то покроем площадь равную площади солнечной системы вплоть до Сатурна.

Стохастические фракталы

Типичный представитель данного класса фракталов "Плазма". Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладываем текстуру и пожалуйста фотореалистичные горы готовы.

L-системы


Любителям фракталов и математических картинок известны фантастические изображения растений, полученные с помощью программ. Это так называемые L-системы. В основе их построения лежат два принципа. Первый – это так называемая «черепашья графика» (оператор draw) патриарха GWBASIC и его детей Turbo Basic и QBasic, когда движение рисуется пошагово в приращениях относительно текущей точки. Либо моделируется данное поведение, задавая движение в приращениях координат. Второй принцип – изюминка метода: каждое единичное движение заменяется на весь рисунок. Например, нарисуем вилку-рогатульку. На следующем шаге работы программы каждая из трех палочек вилки заменяется такой-же вилкой, превращая вилку в ветку с сучками, после следующего шага получим лохматый куст, потом пушистое дерево, красивое, фрактальное. Меняя вид начальной картинки можно получать самые разные изображения от зонтиков укропа до колючего перекати-поле или пучка водорослей.


Суть L-кодирования сводится к следующему. Представим себе некое виртуальное программируемое устройство, состоящее из пера, управляющего им механизма и листа бумаги. Управляющий пером механизм способен исполнять несколько команд. А именно: он может опустить перо на бумагу и вычертить прямой отрезок заданной длины в направлении текущей ориентации пера (команда F). Он может изменить ориентацию пера по отношению к текущей на какой-то заданный относительный угол по часовой или против часовой стрелки (команды + и -). Он может также запоминать (заносить в стек) свое текущее состояние (команда [) и вспоминать (извлекать из стека) ранее запомненное состояние (команда ]). Под состоянием в данном случае понимается тройка чисел (x, y, a), где x и y - это координаты пера и а - это угол, определяющий направление ориентации пера. Таким образом, задав некое начальное направление а0, определив относительный угол поворота в 900 и задав длину отрезка, при помощи последовательности команд F+F+ F+F мы можем нарисовать квадрат. Определив относительный угол поворота в 600, при помощи последовательности команд F++F++F можно нарисовать равносторонний треугольник.

Предположим также, что в программы для нашего виртуального устройства, кроме пяти перечисленных команд, можно включать любые другие символы, которые управляющий механизм будет просто игнорировать. То есть если мы введем программу F+BF+CCF+CF, то устройство все равно нарисует квадрат. Теперь мысленно оснастим наше устройство приставкой, которая перед тем, как передать введенную программу на управляющий механизм, может заданное число раз просматривать ее, и при каждом очередном просмотре заменять любые символы последовательности по предварительно указанным правилам. Исходную программную последовательность символов теперь будем называть аксиомой. Например, введем аксиому FB+, и определим правило B < F+FB. Зададим также количество просмотров, равное, например, двум. Тогда на входе механизма после обработки введенной аксиомы приставкой получим последовательность FF+FF+FB+. Вот, собственно, и все. При помощи описанного несложного виртуального устройства можно строить множество самых разнообразных фрактальных форм - от традиционных математических фракталов, таких, как, например, снежинка Коха или кривая Гильберта, до структур, очень напоминающих растительную или подводную жизнь

Использованные материалы
http://arbuz.ferghana.ru/
http://sakva.narod.ru/fractals.htm
Гарри Корнелл "Программирование в среде Visual Basic 5"

Группа: Участники
Сообщений: 52
Добавлено: 08-04-2010 23:23
http://fractals.nsu.ru/bin/ifsb-1.7.4-win.exe


Программа IFS Builder 3d предназначена для построения 3D изображений самоподобных фракталов. Поддерживаются аттракторы аффинных и мёбиусовых IFS, а также Graph-directed IFS. Также можно создавать стереоизображения (стерео-пары изображений, глядя «сквозь» которые, можно увидеть трёхмерный объект) и анимации фракталов — их движение, полёт в глубь и морфинг фракталов!

Возможности программы
Программа IFS Builder 3d находится вне конкуренции по качеству получаемых изображений самоподобных, самоаффинных и мёбиусово-порождённых фракталов! Благодаря используемым оригинальным алгоритмам, удаётся выдерживать хорошее соотношение между качеством изображения и скоростью построения.
Используется алгоритм трассировки лучей (Ray-tracing) с сопутствующими ему вкусностями - источники света, тени, зеркала.
С программой идёт несколько сотен примеров. Примеры хранятся в текстовом файле простого формата, куда их можно добавлять самостоятельно.
Самоаффинные и мёбиусово-порождённые фракталы (например, остаточное множество паковки Апполония).
Случайно-порождённые фракталы, т.е. такие, когда на каждом шаге измельчения аттрактора IFS, сжимающие отображения выбираются случайно из некоторого заданного набора.
Антиалиасинг для сглаживания и борьбы с «лестничным эффектом».
Для задания фракталов используется мощный специализированный скритовый язык, слегка похожий на jаvаscript (описание языка).
Программа позволяет строить фракталы в высоком разрешении, даже при нехватке памяти, что даёт возможность создавать изображения в полиграфическом качестве.

Группа: Участники
Сообщений: 52
Добавлено: 31-05-2010 03:00
Геометрия безумия


Можно ли однозначно определить бесформенность? Отыскать язык, на котором возможно рассказать о форме облаков или о цвете мерцающего снега? Существует ли наука, способная вычислить площадь снежинки или степень беспорядка хаоса? Иными словами, возможно ли так сконцентрироваться на объекте окружающего мира, чтобы получить его
полную рациональную интерпретацию?
Любая рациональная [деятельность человека опирается на систему абстракций или, иными словами, моделей. Не существует моделей правильных или неправильных - есть лишь I модели удобные или неудобные. Геометрия Евклида является, несомненно, удобной моделью для здравого человеческого смысла, но ее применение к описанию какого-либо явления неизбежно низводит это явление из ранга объективной реальности в ранг абстракции, понятной человеку. Человек мыслит абстракциями, а объективная реальность таковой не является. Геометрия Лобачевского является менее удобной для повседневной жизни, однако способна объяснять некоторые явления, выходящие за пределы плоской видимости. В некотором смысле, она, в свое время, явилась хорошим ударом матрице здравого смысла.
Но природа искусно сочетает простоту с изощренностью, отвергает любые системы, модели и абстракции. И в этом она враждебна человеку рациональному, стремящемуся понять и проникнуть в ее. Для описания мира природы более удобна иррациональная парадигма, "геометрия безумия" аппарат, оперирующий не человеческими терминами, а терминами объекта исследования (внешнего мира).
Фрактальная геометрия изъясняется на языке природы и смысл языка этого зачастую просто отказывается доходить до разума, погруженного в бытовую логику.

Однако синтаксис такого языка может быть раскрыт довольно легко и понятно:

1. В мире природы не существует статических состояний. Не существует точек, линий, плоскостей и других объектов фиксированных размерностей. Размерность объекта является, скорее, величиной дробной и нестабильной, изменяющейся в соответствии с законами прогрессий. Она подобна вечно ускользающей величине с течением вечно ускользающего мига настоящего времени. Измерить ее можно лишь гипотетически, представив, например, остановку времени в момент измерения. В этом смысле, размерность объекта - величина, непосредственно связанная с течением времени и в какой-то мере вообще эквивалентна безмерности.

2. Любая форма естественного происхождения является самоподобной, т.е. любая часть целого подобна самому целому и этим обеспечивается его единство. Уместно привести слова Изумрудной скрижали, приписываемые легендарному Гермесу Трисмегисту: "То, что находится внизу соответствует тому, что пребывает вверху, и то, что пребывает вверху соответствует тому, что находится внизу, чтобы осуществить чудеса единства". То есть, согласно данной аксиоме фрактальной модели - структурное существование любой вещи обусловлено ее самоподобием или самоорганизацией.

3. Любой процесс или движение в природе имеет прерывистый (скачкообразный) характер, при котором область разрыва стремится к минимуму, а число разрывов к максимуму. В силу этого, человеческий мозг, склонный по своей природе к абстрагированию, видит во всем плавность и непрерывность.

Таким образом, фрактальная геометрия ("менее человеческая", но, несомненно, все же человеческая модель) удобная для постижения таких принципов как гармония, устойчивость, хаос. Вещи рассматриваются не с точки зрения констатации того, какими они являются, а с точки зрения - почему они такие, с точки зрения законов, по которым материя "прядется" из идей. Морозный узор на стекле, сверкающая молния, форма снежинки, прожилки на листке дерева, отпечаток пальца человека, характер трепетания огня - все это настолько разнообразно и разнопланово… Однако, несомненно сходство внутреннее, некое общее их начало и закон, по которому соткана структура и форма этих явлений, независимо от их физики и химии. Это некая грандиозная "игра в бисер", где одна общая 'идея выражается всеми возможными способами: цветом, звуком, формой, запахом и т.п.
Фрактальная геометрия является моделью, позволяющая избавиться от привычки смотреть на вещи с точки зрения их размера и продолжительности. В данном контексте, смысл имеет только масштаб, в котором рассматривается явление. Эта модель убедительно объясняет, как удается эволюционировать столь сложным природным фракталам как, например, человеческий организм, ибо сложными они являются лишь с позиции Евклидовой геометрии. С [точки зрения фрактальной [геометрии закон их существования и развития может быть описан с помощью небольшого объема информации. Явления описываются не с точки зрения последовательности состояний, а с точки зрения переходных процессов из одного состояния в другое. Так, например, источник цвета есть состояние границы света и тени и ее особенности. Что бы чему не противостояло: быстрое - медленному, теплое — холодному, плотное - разряженному, кислотное - щелочному и т.п. - на границе различий расцветает жизнь.
Применительно к человеческому мышлению, фрактальная модель является интуитивно понятной, но рационально неприемлемой. Здравый рассудок весьма болезненно воспринимает напрямую всякого рода рекурсию, самоподобие и фрактальность (что, кстати, может явиться аргументом в пользу чуждости рассудочной стороны человека его духовной природе). Кибернетический подход к обработке информации лишен такого "недостатка" и компьютер "смело" выстраивает сложнейшие структуры и цветовую динамику из простого ядра, опираясь на заданный фрактальный закон развития. Получаемые результаты одновременно шокируют, удивляют и притягивают какой-то внутренней гармонией. Изображения, полученные таким образом, принято называть фракталами. Компьютерное моделирование самоподобных образований может быть произведено в звуковой форме, однако такой фрактал тяжел для человеческого восприятия, т.к. он воспринимается не весь целиком, а последовательной цепочкой звуков.

Интуитивное стремление к гармонии лежит в основе творческого импульса. Поэтому во многих продуктах творческой деятельности человека наблюдается ярко выраженная фрактальная структура, как результат осмысленного или неосмысленного повторения механизмов вселенского творчества. Естественно-природные фракталы: периодический самоподобный шум морского прибоя, звон насекомых и птиц в лесу, дробь дождя, очертания форм облаков, шум ветра, сочетание ферментов, образующих аромат цветов - являются носителями гармонии, отображаемой человеком в своем творчестве и в моделях своего духовного совершенствования. Посредством семантических образов фрактальность наиболее ярко проявляется в этнической словесности: мантры, гимны, молитвы, заклинания, сказания. Издревле считалось, что просто регулярно повторяя или концентрируясь на этих образах, человек способен поломать обыденный рациональный угол зрения на вещи и взамен обрести душевную гармонию. Фрактальность может проявляться в образе поведения или траектории движения человека: ритуальные танцы, марши, "ушу-подобные" гимнастики, пассы психоэнергетических практик - суть обучения тела и ума мировоззрению всеобщей взаимосвязанности и самоподобия. Мандала - один из древнейших дошедших до нас способов изображения фрактальной структуры. Окружающий мир не нуждается в измерении, наименованиях и статичных формах, поэтом он и не имеет всего этого. Особенности его формообразование совсем в другом, где каждая точка является центром общей картины, где все зависит от малейшей волны, вызванной взмахом крыла бабочки. Изображение, звук, слово, движение, мысль, эмоция, ощущение - все это разные языки, говорящие об одном и том же и благодаря одному и тому же. Фрактальные модели, геометрия безумия - инструмент, облегчающий осознание и восприятие этого единства.


© Александр БОЖДАЙ

Страницы: << Prev 1 2  ответить новая тема
Раздел: 
Нетрадиционная энергетика / РАЗНОЕ / Фракталы

KXK.RU